Šeško bắt đầu tập luyện tại đội bóng địa phương Radeče lúc mới 8 tuổi.[2] Năm 2016, anh chuyển đến Krško và tại đội U-15 của Krško, anh ghi tới 59 bàn chỉ sau 23 trận.[3] Thành tích này giúp anh được được đội bóng giàu truyền thống Domžale chiêu mộ và cũng khiến anh trở thành mục tiêu chuyển nhượng của các đội bóng lớn Manchester City, Bayern München, Juventus, Borussia Dortmund và Ajax.[2][4]

Red Bull Salzburg

Ngày 3 tháng 6 năm 2019, Šeško ký hợp đồng có thời hạn 3 năm với đội bóng Áo Red Bull Salzburg.[5] Ngay lập tức anh được đem cho đội bóng vệ tinh của Salzburg là FC Liefering thi đấu tại Giải bóng đá hạng nhất quốc gia Áo mượn. Trong mùa giải thi đấu chuyên nghiệp đầu tiên ở tuổi 16, anh gặp nhiều khó khăn khi thi đấu với các đối thủ lớn tuổi hơn nên chỉ có 1 bàn thắng sau 15 trận đấu.[4] Thế nhưng đến mùa giải tiếp theo 2020-21, anh ghi được đến 21 bàn thắng sau 29 trận cho Liefering, giúp anh đứng thứ hai trong danh sách vua phá lưới Giải hạng nhất Áo sau Fabian Schubert (33 bàn). Anh còn có thêm 6 đường chuyền thành bàn.[2][4]

Sau hai mùa giải cho Liefering với 22 bàn thắng sau 44 trận, Šeško đã được tân huấn luyện viên Salzburg Matthias Jaissle triệu hồi cho mùa giải 2021-22. Dù chỉ đá chính 12 trận trên mọi đấu trường, Šeško ghi tới 11 bàn thắng và có thêm 7 pha kiến tạo giúp Salzburg giành chức Giải bóng đá vô địch quốc gia Áo lần thứ 9 liên tiếp.[6] Ngày 1 tháng 5 năm 2022, Šeško là một trong ba cầu thủ Salzburg lập công trong trận chung kết Cúp bóng đá Áo 2021–22 thắng SV Ried 3-0 để giúp Salzburg giành cú đúp danh hiệu quốc nội.[7]

Ngày 3 tháng 5 năm 2023, Šeško lập hat-trick chỉ trong vòng 7 phút trong chiến thắng 4-2 trước SK Rapid Wien tại Giải vô địch quốc gia Áo.[8] Anh có một mùa giải 2022-23 thành công với tổng cộng 16 bàn thắng trong 30 trận tại Giải bóng đá vô địch quốc gia Áo góp công giúp Salzburg một lần nữa vô địch giải đấu này.[9]

RB Leipzig

Ngày 9 tháng 8 năm 2022, RB Leipzig thông báo đã chiêu mộ thành công Šeško với phí chuyển nhượng 24 triệu € và hợp đồng có thời hạn 5 năm.[10] Šeško có trận đấu chính thức đầu tiên cho RB Leipzig khi vào sân thay cho Timo Werner trong trận tranh Siêu cúp Đức 2023 và cũng có luôn danh hiệu đầu tiên tại Đức với chiến thắng 3-0 trước Bayern München.[11] Ngày 3 tháng 9 năm 2023, anh có những bàn thắng đầu tiên cho RB Leipzig với một cú đúp trong chiến thắng 3–0 trước Union Berlin tại vòng 3 Bundesliga 2023-24.[12] Ngày 19 tháng 9, với pha lập công ấn định chiến thắng 3-1 trước BSC Young Boys, Šeško trở thành cầu thủ trẻ nhất ghi bàn cho RB Leipzig tại đấu trường UEFA Champions League ở tuổi 20 và 111 ngày, phá kỷ lục cũ của Jean-Kevin Augustin.[13]